Träge Masse

(Christian Holzapfel)

Einleitung


   Die zwei Hauptpfeiler der Newtonschen Physik sind die Träge Masse und die Schwere Masse. Die träge Masse äußert sich im Widerstand gegen eine Geschwindigkeitsänderung der Masse, die ihr durch eine äußere Kraft aufgezwungen wird. Die schwere Masse äußert sich durch die gegenseitige Anziehungskraft zweier Massen. Dabei wird über die Natur der Masse nichts weiter gesagt, woher sie kommt, woher ihre beiden Eigenschaften, Trägheit und Schwere, kommen, für den Laien ausgedrückt, was die Masse eigentlich ist.


   Die Trägheit der Masse wird durch das Newtonsche Kraftgesetz ausgedrückt:

 

Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung.


   Diese Beziehung wird verwendet um den Begriff der Kraft zu definieren als Ursache der Beschleunigung, und auch um den Begriff der Masse zu definieren als Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung.
Die Schwere der Masse wird durch das Newtonsche Gravitationsgesetz ausgedrückt:

 

Die Anziehungskraft zwischen zwei Massen ist proportional zu den
beiden Massen und umgekehrt proportional zum

Quadrat des Abstandes zwischen den beiden Massen.


   Durch entsprechende gedachte Anordnungen wird ermittelt, dass die träge Masse proportional zur schweren Masse ist. Durch geeignete Wahl des Maßsystems lässt sich dann auch die Gleichheit der trägen und der schweren Massen zeigen. Experimentell ist das sogar bestätigt worden bis hinunter zu Abständen zwischen den beiden Massen im Millimeterbereich.
In beiden Fällen wird man aber allein gelassen mit der Frage nach der Natur der Dinge. Im Falle der Trägheit wird der eine Begriff durch den anderen Begriff definiert und der andere Begriff durch den ersten wieder. Im Falle der Schwere wird eine Anziehungskraft zwischen zwei Massen postuliert. Wie diese Anziehung über weite leere Strecken funktionieren sollte, konnte auch Newton nicht erklären, Strecken, die auch astronomische Dimensionen haben, z.B. Erde – Mond.


   In dieser Betrachtung werde ich versuchen, den Begriff der Trägheit auf die Gravitation, also auf die Schwere, zurückzuführen und so auch den Unterschied in den beiden Begriffen, Trägheit und Schwere, zu eliminieren. Diese reinklassische Betrachtung soll nicht als Ersatz für die Newtonsche Betrachtung gelten, sondern eher als Alternative – allerding gestützt durch die Erkenntnisse der Allgemeinen Relativitätstheorie.


(1.Dez.2017)

 

Erster Ansatz.

 

   Eine Masse bildet um sich herum ein Gravitationsfeld, das sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Wird eine Masse bewegt, ändert sich das Feld entsprechend. Jede Masse strebt auf Grund des Gradienten des Feldes zum Zentrum des Feldes. Wird eine Masse bewegt, befindet sie sich für eine kurze Zeitspanne außerhalb des Zentrums ihres eigenen Feldes. Daher strebt sie wieder zum Zentrum, d.h. die Masse widersetzt sich der Bewegung. Ist die Bewegung gleichmäßig, soll man dieses Widersetzen nicht merken, da sonst das Relativitätsprinzip verletzt würde. Ist die Bewegung jedoch beschleunigt, dann merkt man dieses Widersetzen, d.h. die Masse reagiert träge, und zwar umso stärker, je stärker die Beschleunigung ist.


   D.h. die Trägheit der Masse ist durch das Streben hin zum Zentrum ihres eigenen Gravitationsfeldes verursacht. Die Schwerkraft beruht auf der Wechselwirkung des Gravitationsfeldes der Masse mit einem anderen Gravitationsfeld, während die Trägheit der Masse auf der Wechselwirkung der beschleunigten Masse mit seinem eigenen Gravitationsfeld beruht. Dabei erscheint die schwere Masse gleich der trägen Masse, weil die Beschleunigung das externe Feld simuliert. Beim Impuls erscheint die Masse lediglich als Faktor bei der Geschwindigkeit. Erst bei der Beschleunigung tritt die Masse als physikalische Realität auf.


   Vergleich mit der entsprechenden Elektronenmasse:
Wenn man den Bewegungszustand einer Ladung, eines Elektrons, ändert, verzögert oder beschleunigt, dann entsteht dabei elektromagnetische Strahlung, die sogenannte Bremsstrahlung. Die Energie, die in dieser Strahlung steckt, muss zusätzlich aufgebracht werden zur Energie für die Beschleunigung der Masse des Elektrons, d.h. man benötigt eine zusätzliche Kraft zur Beschleunigung. Sonst wäre der Energieerhaltungssatz verletzt. Die Arbeit gegen diese Kraft ist gleich der Energie der emittierten elektromagnetischen Strahlung. Der Ursprung dieser Kraft muss, wenn wir nur das Elektron und das beschleunigende Feld vorliegend haben, im Elektron selbst liegen. Durch die Emission der elektromagnetischen Strahlung erscheint also als eine zusätzliche Kraft, die auf die Ladung wirkt, die sogenannte Strahlungsdämpfungskraft. Diese zusätzliche Kraft wirkt wie eine Kraft auf eine zusätzliche Masse, die zur elektromagnetischen Masse hinzugezählt werden muss. Die gesamte für die Bewegung des Elektrons relevante Masse besteht also aus zwei (vielleicht mindestens zwei) Teilen, aus der sogenannten feldfreien Masse, die der Masse eines neutralen Teilchens entspricht, das keine Bremsstrahlung emittiert, und der zusätzlichen Masse. Die feldfreie Masse steht im Widerspruch zur Relativitätstheorie, ist aber konsistent mit der klassischen Elektrodynamik, obwohl die klassische Elektrodynamik nicht im Widerspruch zur Relativitätstheorie steht. Die von internen Kräften herrührende zusätzliche Masse hängt wahrscheinlich von der inneren Struktur des Elektrons ab, über die wir nichts wissen. Wir kennen nur die Summe dieser beiden Beiträge zur Masse des Elektrons.


   Wenn man den Bewegungszustand einer Masse ändert, verzögert oder beschleunigt, dann entsteht dabei Gravitationsstrahlung in Form einer Gravitationswelle. Die Energie, die in dieser Strahlung steckt, muss zusätzlich aufgebracht werden zur Energie für die Beschleunigung der Masse, d.h. man benötigt eine Kraft zur Beschleunigung. Sonst wäre der Energieerhaltungssatz verletzt. Die Arbeit gegen diese Kraft muss gleich sein der Energie der emittierten Gravitationsstrahlung.


(Lønstrup, Aug. 2017)

 

Erste Schwierigkeiten.

 

   Die Gravitationsstrahlung ist jedoch energetisch verschwindend klein gegenüber den anderen Energiebeträgen, z.B. kinetische Energie. Wir können daher nicht wie beim Elektron auf die abgestrahlte Energie als Quelle der Trägheit zurückgreifen, sondern müssen die oben erwähnte Eigenschaft postulieren:


Jede Masse strebt auf Grund des Gradienten des Feldes zum Zentrum des Feldes.


   So ist das Postulat fast identisch mit dem Newtonschen Postulat der Gravitation. Hier wird es nur in einer Erweiterung verwendet bei der Auslenkung der Masse aus dem eigenen Gravitationsfeld bei einer Beschleunigung. Nehmen wir an, ein Neutron wird beschleunigt, so dass ihr Zentrum im Mittel sich um einen Anstand von r aus dem Zentrum ihres Gravitationsfeldes befindet. Mit welcher Kraft wird es ins Zentrum zurückgezogen, oder wie groß ist der Abstand, wenn die Kraft gerade dem Gewicht des Neutrons entspricht.


   Vergleichen wir die Gravitationskraft zwischen dem Zentrum des Feldes und dem Zentrum des Neutrons sehen wir, dass die Rückstellkraft gerade dem Gewicht entspricht, wenn der Schwerpunkt der Masse sich im Mittel um eine Strecke aus dem Schwerpunkt des Gravitationsfeldes entfernt hat, die tief im subatomaren Bereich liegt; der Radius des Neutrons ist etwa 4 Größenordnung größer, das ist auch ungefähr die Reichweite der Kernkräfte. Das gilt natürlich auch für eine Menge von Neutronen, von Atomen und von makroskopischen Körpern wie z.B. Billardbällen. Es wäre noch zu untersuchen, ob man diese Auslenkung bei einer Beschleunigung berechnen kann, und warum sie nicht bei einer gleichmäßigen Bewegung auftritt.


   Die Ableitung zeigt aber, dass der für ein Neutron berechnete Abstand von der Masse abhängig ist. Für eine Kugel mit dem Gewicht von 1 kg ergibt sich daher ein Abstand von 0,26 Mikrometer, also wesentlich größer als für ein einzelnes Neutron. Diese Abhängigkeit passt überhaupt nicht in die Vorstellung, von der oben ausgegangen ist; unklar ist wie die Rückstellkraft für eine Menge von kleinen Massen zu berechnen ist, für eine Kugel aus Eisen als ganzes oder für jedes einzelne Eisenatom in der Kugel.


   R.Feynman hat die Berechnung beim Elektron beschrieben auf Grund einer inneren Struktur des Elektrons. Vielleicht kann man das auch fürs Neutron verwenden. Das Elektron ist jedoch, soweit wir wissen, strukturlos, zeigt aber trotzdem träge Masse. Die innere Struktur ist jedoch auch nicht hilfreich, weil die vermutete Rückstellkraft nicht von der inneren Struktur abhängen kann, denn sonst wäre die träge Masse auch von der Struktur abhängig, d.h. z.B., dass die selbe Menge Wasser als Eis eine andere träge Masse zeigen würde als flüssiges Wasser. Weiterhin ist die Gültigkeit des Newtonschen Gravitationsgesetzes bei solch kurzen Abständen fraglich.

 

   Weiterhin, wenn man sich aufzeichnet und berücksichtigt, dass das Gravitationsfeld sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet und auch entsprechend verschwindet, stellt man fest, dass die Masse am neuen Ort sich nicht mehr im Feld vom alten Ort befindet, weil das schon längst verschwunden ist. Auch die Vorstellung, dass die beiden Gravitationsfelder, das alte Feld und das neue Feld, wechselwirken, ist nicht hilfreich, weil ja zwar das neue Feld sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, das alte Feld aber dort schon verschwunden ist, das neue Feld kann das alte nicht einholen, d.h. die beiden Felder werden sich nie am gleichen Ort begegnen. Die Masse hat ja den neuen Ort mit einer Geschwindigkeit erreicht, die viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist. Das alte Feld hat also keinen Einfluss mehr auf die Masse.

 

   Um diese Schwierigkeit zu überwinden, ist man gezwungen anzunehmen, dass das alte Feld nicht so schnell verschwindet; wir müssten also noch ein Postulat aufstellen:


Beim Verschwinden der Masse, verschwindet das Gravitationsfeld nicht sofort.


   Weiterhin erlaubt die Quantentheorie nicht die gleichzeitige Bestimmung von Ort und Geschwindigkeit bei den in Frage kommenden Dimensionen. Es sind also noch viele Schwierigkeiten zu überwinden, wenn die Hypothese überhaupt realisierbar ist.


   Zur Verdeutlichung wiederholen wir einiges dazu aus der klassischen Physik. Es sei eine Masse an einer Schnur aufgehängt an einem Balken, einmal

    a) unter dem Einfluss eines Gravitationsfeldes, z.B. an der Oberkante des Türrahmens in unserem Wohnzimmer, oder

   b) an der Decke einer Kabine weit draußen im Weltall fern von jedem Einfluss eines Gravitationsfeldes; dafür wird die Kabine nach oben beschleunigt.


   Im Fall a) wirkt die Anziehungskraft der Erde auf die Masse mit einer entsprechenden Beschleunigung nach der Beziehung Kraft gleich Masse mal Erdbeschleunigung.
   Im Fall b) soll die Kabine mit derselben Beschleunigung nach oben gezogen werden, so dass hier dieselbe Kraft auf die Masse nach der gleichen Beziehung wirkt, jedoch mit der Beschleunigung, mit der die Kabine nach oben gezogen wird. Wir merken also keinen Unterschied zwischen diesen beiden Fällen, obwohl zunächst die Ursachen für die Kraft unterschiedlich sind. Im ersten Fall a) ist die Kraft die Anziehungskraft zwischen der Erde und der schweren Masse, also Gravitation, im zweiten Fall b) ist die Kraft durch die träge Masse verursacht. Da die beiden Kräfte gleich sind, sind auch die beiden Massen, träge und schwere Masse gleich.


   Wie die beiden Vorgänge sich energetisch verhalten, beobachten wir von einem benachbarten Inertialsystem aus, also einem System, in dem keine Beschleunigung vorhanden ist. Im ersten Fall ist das ein System, das im Gravitationsfeld frei fällt, im zweiten Fall ein System, das ebenfalls weit draußen im Weltall sich befindet aber nicht beschleunigt wird. In beiden Fällen beobachten wir vom Inertialsystem aus dieselbe Beziehung, Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Im Fall b) ist auch der Fall enthalten, dass die Kabine aufgehängt ist an einem Seil und an diesem um ein Zentrum rotiert. Dann simuliert die Zentrifugalkraft ein Gravitationsfeld. Das benachbarte Inertialsystem ist dann eine Kabine, die sich tangential dazu mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.


   Die Arbeit, die geleistet wird, wenn die Masse sich durch die Kraft um eine Wegstrecke bewegt, ist das Produkt aus Kraft und Wegstrecke, d.h. die Leistung ist dann das Produkt aus der Kraft und der Geschwindigkeit, mit der die Masse durch die Kraft bewegt wird. Integrieren wir das, um die gesamte Arbeit über eine längere Wegstrecke zu berechnen, auf der die Geschwindigkeit sich auch ändern kann, erscheint in beiden Fällen die Arbeit, die die Kraft aufbringt, um die Masse von der Geschwindigkeit 0 auf eine Geschwindigkeit, die größer als 0 ist, zu beschleunigen, als kinetische Energie der Masse.


   Haben wir nun eine zusätzliche Leistung, die aus irgendeinem Grund vom System abgeführt wird, dann muss zusätzlich Arbeit geleistet werden, d.h. die Kraft muss entsprechend größer sein, und die Masse erscheint ebenfalls entsprechend größer, sowohl die träge als auch die schwere Masse. Das hat nichts zu tun mit der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse in der speziellen Relativitätstheorie, hier geht es nur um die Erfüllung des Energieerhaltungssatzes in der klassischen Mechanik.


   Betrachten wir die Beschleunigung eines Elektrons im elektrischen Feld können wir den gleichen Formalismus verwenden, indem wir statt der Gravitation die elektrische Kraft im elektrischen Feld betrachten. Wenn ein Elektron beschleunigt wird, strahlt es elektromagnetische Energie ab. Die zusätzliche Leistung ist in diesem Fall die Strahlungsleistung und die zusätzliche Masse ist die Strahlungsmasse des Elektrons. Man erkennt hier, dass es in diesem Bild nicht gelingt, die Masse des Elektrons vollständig auf den Effekt der Strahlung zurückzuführen. Wenn wir die Masse gleich 0 setzen, so dass nur die zusätzliche Masse übrig bleibt, verschwindet die kinetische Energie. Die stellen wir aber experimentell als tatsächlich vorhanden fest. Wir können daher nur einen Teil der Masse des Elektrons auf den Strahlungseffekt zurückführen.


   Auf der Suche nach einem klassischen Mechanismus, der die oben erwähnte Rückstellkraft beschreibt, fällt einem zuerst eine Reihe von Federn ein, die nacheinander auseinandergezogen werden, wenn plötzlich eine Zugkraft auf das eine Ende der Reihe wirkt. Dann ist die Beschleunigung auf die erste Feder proportional zur Kraft, die Geschwindigkeit proportional zur Zeit, so dass der Weg des ersten Angriffspunktes proportional zur Zeit zum Quadrat wird. Setzt man das weiter fort, wird der Weg des zweiten Angriffspunktes, wo die zweite Feder ansetzt, proportional zur vierten Potenz der Zeit. Nach einer gewissen Zeit ist der stationäre Zustand erreicht, wenn die Kraft sich auf die Federreihe entsprechend verteilt hat.


   Aber die erste Feder erreicht den stationären Zustand früher als die letzte Feder wegen der ansteigenden Potenz der Zeitabhängigkeit der Wege der einzelnen Angriffspunkte. D.h. das System zeigt eine „Trägheit“ beim Ansetzen der Kraft, weil die Federn nacheinander gedehnt werden müssen, jedoch nur am Anfang. Sobald der stationäre Zustand erreicht ist, verschwindet diese „Trägheit“, auch wenn das ganze System weiter beschleunigt wird. Ferner entspricht die Federkraft nicht der Gravitation. Die Federkraft ist proportional zum Abstand zwischen den Angriffspunkten, proportional zur Dehnung der Federn, während die Gravitation umgekehrt proportional zum Abstand ist. Es sei denn, man postuliert eine entsprechende Modifikation des Gravitationsgesetzes, so dass für kleine Abstände die Kraft wieder gegen Null geht, d.h. noch ein weiteres Postulat erscheint notwendig:


Für kleine Abstände geht die umgekehrte Proportional der Gravitationskraft zum Abstand über in eine direkte Proportionalität.


   Wenn wir uns diese Kräfte als Federn zwischen benachbarten Punkten, die als Massenpunkte gedacht sind, als eine Reihe von abwechselnd Punkten und Federn vorstellen, dann ist die erste Feder bei einer Krafteinwirkung, die die am weitesten gespannt ist. Die erste Feder trägt ja alle Punkte, während die letzte Feder nur den letzten Punkt trägt. Ist keine Krafteinwirkung vorhanden, sind alle Federn entspannt.


   Wir sehen, wir müssten das Newtonsche Gravitationsgesetz und unsere Vorstellung über die Gravitationskräfte erheblich modifizieren, um dieses Konzept zu einer Hypothese oder gar zu einer Theorie aufzubauen. Nun ist das Newtonsche Gravitationsgesetz bei kleineren Abständen als im Millimeterbereich nicht experimentell bestätigt worden. Wir nehmen nur an, dass die umgekehrt proportionale Abhängigkeit vom Abstand zwischen den beiden Massenschwerpunkten auch bei beliebig kleinen Abständen gilt – und nehmen dabei die Singularität in Kauf.


   Vielleicht ist die „Trägheit“ gar keine intrinsische Eigenschaft der Masse, sondern eine Eigenschaft, die nur auftritt bei Beschleunigung, hat also was zu tun mit Beschleunigung und nicht mit Masse. Die Eigenschaft „Trägheit“ tritt ja nur auf bei Beschleunigung, wobei die Gravitation zur Beschleunigung mitgehört.


   Die Lorentz-Transformation entspricht einer Drehung im vierdimensionalen Raum-Zeit Kontinuum. Wenn wir von einem System die Daten in ein anderes System transformieren, das sich mit einer anderen Geschwindigkeit bewegt, drehen wir uns im vierdimensionalen Raum-Zeit Kontinuum um den Ursprung. Wenn wir ein System beschleunigen, entspricht das daher einer Rotation im vierdimensionalen Raum-Zeit Kontinuum. Dabei treten Zentrifugalkräfte auf. Wo treten die auf? Und ist darauf die Gravitation zurückzuführen, wenn Gravitation gleich Beschleunigung sein soll? In der Frage der Masse und der Trägheit bringt das uns aber auch nicht weiter, höchsten in der Berechnung der Beschleunigung. Die Zentrifugalkräfte treten ja erst auf mit der trägen Masse.

 

(Sept. 2017)

 

Hilfe aus der Allgemeinen Relativitätstheorie.

 

   Jetzt ist der Sprung zur Allgemeinen Relativitätstheorie nicht mehr so weit. Eine Raum-Zeitliche Krümmung erzeugt eine Kurve im Raum. Nehmen wir an, wir hätten eine konstante Krümmung im Raum-Zeit-Kontinuum. Ein Körper bewege sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Die Projektion der Bahn auf die Hyperebene Raum ist eine Kurve mit einer bestimmten Krümmung und einem entsprechenden Bahnradius. Das ist eine Kreisbewegung mit der entsprechenden Beschleunigung. Die Krümmung im Raum-Zeit-Kontinuum erzeugt also eine Beschleunigung im Raum. Von einer Masse ist hier keine Rede.


   Die konstante Krümmung im Raum-Zeit-Kontinuum stellt einen 4D-Zylinder dar. Legen wir den Zylinder so, dass die Achse parallel zur Zeitachse liegt, dann ist die Projektion in die x-y-Ebene die Kreisbahn um den Schnittpunkt der Achse mit der x-y-Ebene. Auf der Kreisbahn mit diesem Zentrum bewegt sich der Körper im Raum mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Wird die Geschwindigkeit immer kleiner und kleiner, wird die Krümmung immer größer und der Bahnradius immer kleiner, bis der Körper mit der entsprechenden Beschleunigung ins Zentrum stürzt.


   Damit haben wir die Verhältnisse umgedreht. Die Ursache der Beschleunigung ist nicht eine Kraft, sondern eine Krümmung im Raum. Die Kraft, die wir empfinden, ist die Folge dieser Beschleunigung, und die setzen wir proportional zur Kraft. Im obigen Falle nennen wir die Kraft die Schwerkraft und das Zentrum die Erde. Die von uns eingeführte Masse des Körpers als Proportionalitätsfaktor spielt hier keine Rolle, was sich darin auch äußert durch die Tatsache, dass alle Körper gleich schnell fallen. Wenn wir die Kraft als Anziehungskraft zwischen dem Körper und der Erde deuten, dann ist der Proportionalitätsfaktor zwischen dieser Kraft und der Beschleunigung die schwere Masse des Körpers.


   Wie kommt nun die träge Masse ins Spiel?
Ohne äußere Einflüsse bewegen sich Körper im Raum-Zeit-Kontinuum mit konstanter Geschwindigkeit auf geodätischen Bahnen. Das sind im Euklidischen Raum Geraden. In gekrümmten Räumen sind es entsprechend gekrümmte Bahnen, die sich z.B. im Falle der Gravitation als Keplersche Bahnen im dreidimensionalen Raum zeigen. Auf einer Kugeloberfläche sind es die Großkreise. Wird nun ein Körper durch einen äußeren Einfluss daran gehindert, sich weiter auf seiner geodätischen Bahn zu bewegen, treten Kräfte auf. Zum Beispiel hindert die Erdoberfläche einen Körper daran sich weiter auf seiner Bahn in Richtung Erdmittelpunkt zu bewegen. In dem Fall nennen wir die Kraft, die dabei auftritt, Schwerkraft, bzw. einfach Gewicht. Wenn wir uns aber in einem Fahrstuhl weit draußen im Weltall befinden und dieser Fahrstuhl an einem Seil mit einer Beschleunigung von 9,81 Meter pro Sekunde zum Quadrat nach oben gezogen wird, dann können wir unsere Lage nicht unterscheiden von der Situation, die wir in einem Fahrstuhl vorfände, der auf der Erdoberfläche stände. Im Weltall sind die Kräfte, die dabei auftreten, Trägheitskräfte. Auf der Erdoberfläche sind es Schwerkräfte. Wir können die Schwerkraft nicht von der Trägheitskraft unterscheiden. In beiden Fällen ist es auch derselbe Proportionalitätsfaktor, der auftritt zwischen der Beschleunigung und der Kraft, die Masse. Im einen Falle nennen wir sie „träge“ Masse, im anderen Falle „schwere“ Masse. In beiden Fällen ist es ein und dieselbe Masse, einfach der Proportionalitätsfaktor zwischen der Beschleunigung und der dabei auftretenden Kraft.


   Die Beschleunigung können wir messen, sowie Geschwindigkeit und Zeit. Die Kraft können wir auch messen, quantifizieren z.B. durch Federn, während wir die Masse nur als Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung angeben können. Damit hat Albert Einstein die Gravitation zurückgeführt auf eine rein geometrische Ursache. Damit ist auch die Masse selbst eine rein geometrische Sache geworden. Auch bei Stoßprozessen, wo der Impulserhaltungssatz die führende Rolle spielt, tritt die Masse ja nur auf beim Stoß selbst, d.h. bei der dabei kurzeitig auftretenden Beschleunigung. Der Äquivalenzsatz der allgemeinen Relativitätstheorie macht also die eingangs unternommene Überlegung zur Natur und Entstehung der trägen Masse überflüssig – nicht ganz überflüssig, weil wir ja damit auf die Spur des Äquivalenzsatzes gebracht worden sind.


   Nun habe ich früher die These vertreten, dass der Raum, auch das Raum-Zeit Kontinuum, gar keine Dimensionen hat, dass nur wir selbst die Dimensionen hineinlegen, die wir für die Beschreibung der Physik benötigen. Damit ist zunächst die Ursache der Gravitation nicht erklärt worden, sondern nur beschrieben worden, statt durch eine etwas mystische Anziehungskraft zwischen zwei Massen durch eine Krümmung im vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum.


   Wir haben also nur die Erklärung auf die Geometrie verschoben, die wir selbst eingebracht haben. Wir haben aber dennoch etwas gewonnen. Wir haben die auch etwas mystische Eigenschaft der physikalischen Körper, die Masse, mit in die Erklärung durch die Geometrie einbeziehen können.


   Nun haben wir zwar alles, was mit der Masse zusammenhängt, auf die Geometrie des Raum-Zeit-Kontinuums zurückgeführt. Aber es bleiben immer noch Fragen offen. Woher kommt die Raumkrümmung, mit der wir die Gravitation erklären können? Unabhängig davon, ob der Raum gekrümmt ist, oder ob wir mit unserer Mathematik die Krümmung dem Raum auferlegen, irgendetwas ist da, das wir durch Krümmung beschreiben können. Nur, was ist dieses Etwas. Das Ganze erinnert an den Versuch, ein Federbett in eine Schublade zu stopfen. Haben wir endlich das eine Ende in die Schublade gezwängt, dann quillt das andere Ende an der anderen Seite wieder heraus.


   Wenn ich an die Realität des Raumes glauben würde, würde ich sagen, die Explosion im Urknall hätte den Raum so verbogen, dass Gravitationsfelder entstanden sind.


(Okt. 2017)

 

Vorläufige Zusammenfassung.

 

   Fassen wir die Gedanken nochmal zusammen, vor allem die letzten Betrachtungen, so kommen wir zurück auf die eingangs beschriebene Vorstellung.


Die schwere Masse ist auf ein äußeres Gravitationsfeld zurückzuführen.
Das externe Gravitationsfeld ist auf eine Krümmung des Raumes zurückzuführen.
Die träge Masse ist auf eine Beschleunigung zurückzuführen.
Die Beschleunigung lässt sich lokal nicht von einem Gravitationsfeld unterscheiden.
Die Beschleunigung ist demnach auch auf eine Krümmung des Raumes zurückzuführen.
Bei einer Beschleunigung weit weg von externen Gravitationsfeldern ist die einzige Ursache

für eine Krümmung des Raumes das Gravitationsfeld des beschleunigten Objektes selbst.


Damit liegt die Vermutung nahe, dass die Trägheit des Objektes auf eine Wechselwirkung mit dem eigenen Gravitationsfeld zurückzuführen ist. Die verschiedenen klassischen und halbklassischen Einwände zeigen nur, dass diese Wechselwirkung noch nicht richtig beschrieben ist. Sollte es wirklich gelingen, die Trägheit auf die Wechselwirkung mit dem eigenen Gravitationsfeld zurückzuführen, dann wäre das Mach’sche Prinzip überflüssig.


(31. Okt. 2017)

 

 

   Heute (9.Nov.2017) fand ich bei M. Born einen Hinweis, dass A. Einstein eine ähnliche Vorstellung entwickelt hatte, „Einstein’s Vorstellung ist, dass das Feld, das ein Körper erzeugt, auf ihn zurückwirkt und so seine Weltlinie bestimmt.“


(9. Nov. 2017)

 

Weitere Hilfe aus der Allgemeinen Relativitätstheorie.

 

   Ich will jedoch jetzt versuchen, den Gedankengang der Allgemeinen Relativitätstheorie zu verwenden. Die Beschleunigung ist eine Größe, die mit geometrischen Begriffen, Abstand und Zeit, gemessen werden kann wie die Geschwindigkeit. Die Kraft ist ein weiterführender Begriff, der mit Federn o.ä. gemessen werden kann, oder mit Hilfe des Begriffes der Masse auf Beschleunigung zurückgeführt wird.


   Um nun die Kraft direkt auf geometrische Begriffe zurückzuführen, lassen wir und zunächst von der Newtonschen Beziehung leiten,


Beschleunigung + Gradient eines Potentials = 0


   Diese Beziehung ist die Geodäte im dreidimensionalen Raum. Im Inertialsystem ist die Geodäte, Beschleunigung = 0, eine Gerade, also die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten im euklidischen dreidimensionalen Raum, z. B. in einem System fern ab von jeglicher Kraft, aber auch in einem System im freien Fall im Riemannschen Raum mit gekrümmten Koordinaten, wo ein von 0 verschiedenes Potential vorhanden ist. Im Inertialsystem ist also die Beschleunigung = 0, wir nennen sie b0.


   Wenn nun diese Bewegung behindert wird durch eine Beschleunigung b ungleich 0, wie z.B. in einer rotierenden Bewegung oder im schon berühmten Aufzug, der fernab aller Gravitationskräfte mit einer Beschleunigung nach oben gezogen wird, dann ist die Differenz b0b das, was wir als Kraft verspüren, im Falle der rotierenden Bewegung als Fliehkraft, aber auch im Aufzug, der auf der Erdoberfläche steht. Da ist b0 = Beschleunigung + Gradient des Gravitationspotentials und b = – Gradient des Gravitationspotentials. Dann ist b0b = Gradient des Gravitationspotentials das, was wir als Schwerkraft verspüren.


   Diese Vorstellung übertragen wir nun auf das nichtlineare Raum-Zeit-Kontinuum. Dort ist die Bewegungsgleichung, die die Geodäte definiert, auch der kürzeste Abstand zwischen zwei Weltpunkten D. Im Falle des kräftefreien Raums ist D0 = 0. Wenn diese kräftefreie Bewegung behindert wird wie vorhin ist D von 0 verschieden. Dann ist auch hier die Differenz D0D das, was wir als Kraft spüren.


   Im Falle, dass wir auf der Erdoberfläche stehen, ist die dreidimensionale Beschleunigung verschwunden und nur die Beschleunigung in der Zeitdimension in D verschwindet nicht. Hier sehen wir, dass die Masse nur ein Proportionalitätsfaktor zwischen der Kraft und der geometrischen Größe D0D oder b0b in der Newtonschen Physik, Kraft = Produkt aus Masse  und  (b0b) und wir sehen, wie die Unterscheidung zwischen träger und schwerer Masse verschwindet.


(17.Nov.2017)

 

Modifizierung der ursprünglichen Vorstellung.

(vorläufiger Schluß)

  

   Jetzt will ich versuchen, mit den bisherigen Erkenntnissen die eingangs beschriebene Vorstellung wieder aufzugreifen. Das ist dann die in der Allgemeinen Relativitätstheorie entwickelte Geometrisierung auf die klassische Newtonsche Vorstellung zurückzuführen. Das Gravitationsfeld um eine Punktmasse stellt im Inertialsystem ein System von konzentrischen Kugelflächen um diesen Punkt dar. Von einem dazu bewegten System sind die Kugelflächen in der Richtung der Bewegung gestaucht, aber im ruhenden System müssen es konzentrische Kugelflächen sein, da man sonst an den unterschiedlichen Gradienten auf einer solchen Fläche die Bewegung des Inertialsystems feststellen könnte. In einem solchen System von konzentrischen Kugelflächen treten keine Kräfte auf, die auf die Punktmasse einwirken könnte, d.h. die Punktmasse bewegt sich auf einer Geodäte. Das entspricht dem Fall D = 0.


  Wenn die kräftefreie Bewegung behindert wird, werden die Kugelflächen so verändert, dass sie nicht mehr konzentrisch sind. Sie lassen sich auch nicht in einem solchen Nichtinitialsystem zu konzentrischen Kugelflächen transformieren. Das entspricht dem Fall D unleich 0. Wir können also die Vorstellung eingangs dahingehend modifizieren, indem wir feststellen,


die Punktmasse tendiert dahin, ihr Gravitationsfeld wieder kugelsymmetrisch zu gestalten.


   Das ist dann einfach eine andere Ausdrucksweise dafür, dass die Masse sich durch ihre Träge einer Beschleunigung durch eine äußere Kraft entgegenstellt.


   Wir haben damit die Vorstellung, die eingangs beschrieben wurde, über die Geometrisierung der Allgemeinen Relativitätstheorie wieder begrifflich auf eine leicht modifizierte Newtonsche Physik zurückgeführt.


   Nun wird man fragen, was eine Punktmasse ist. In diesem Zusammenhang soll eine Punktmasse ein Objekt mit einem Gravitationsfeld in seiner Umgebung sein. Weitere Eigenschaften soll es nicht haben außer der oben beschriebenen Eigenschaft, dass das Objekt versucht sein Gravitationsfeld kugelsymmetrisch zu gestalten, so wie eine Spinne im Zweidimensionalen sein Netz gestaltet. Statt Punktmasse könnte man auch eine Billardkugel oder einen Tennisball nehmen, Hauptsache das Objekt ist kugelsymmetrisch.


   Die Gravitationskraft ist nach dem Newtonsche Gravitationsgesetz außerhalb einer Kugel umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes vom Kugelmittelpunkt. Im Inneren der Kugel ist die Gravitationskraft proportional zum Abstand vom Kugelmittelpunkt, konstanter Dichte vorausgesetzt. D.h. es tritt bei einer Kugel mit endlichem Radius keine Singularität der Gravitationskraft auf. Die Singularität tritt nur auf im Falle einer hypothetischen Punktmasse, die in der Natur daher wahrscheinlich nicht verwirklicht ist. Die hypothetische Punktmasse ist daher vermutlich in der Natur gar nicht realisiert; auch die kleinsten Objekte, wie Elektronen mit einer endlichen Ruhemasse haben auch einen endlichen Radius, der vielleicht nicht definierbar ist, jedoch nicht gleich Null.

 

   Was ist dann nun bei dieser Betrachtung gewonnen. Newton brauchte zwei Begriffe, deren Existenz postuliert werden mussten, die Trägheit der Masse und das Gravitationsfeld der Masse. Bei dieser Betrachtung ist die Trägheit zurückgeführt worden auf das Gravitationsfeld, dessen Eigenschaft allerdings auch postuliert werden musste in Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen. Die Trägheit der Masse tritt nur bei einer Geschwindigkeitsänderung auf – auch Stoßprozesse mit Impulsänderungen gehören dazu – ansonsten erscheint die Eigenschaft der Trägheit nicht.


   Andere Objekte haben andere Eigenschaften. Elektronen haben eine elektrische Ladung und auch ein entsprechendes elektrisches Feld in ihrer Umgebung. Auch hier tritt sowas wie eine Trägheit auf, die sich durch die Strahlungsmasse äußert, wie oben ausgeführt. Es besteht aber nicht – soweit bekannt - die Proportionalität zwischen elektrischer Ladung und Strahlungsmasse wie bei der Masse.


(30. Nov. 2017)